科目名称及代码 数学分析(616)

所在学院(部) 数学与计算科学学院

学位授权点 数学(0701)

一、基本要求

《数学分析》是五邑大学数学与计算科学学院招收数学一级学科学术型类别 硕士学位硕士研究生自命题考试科目。

《数学分析》作为数学专业最重要的基础课程之一，要求考生系统理解数学 分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法,具有抽象思维能 力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

通过考核本科目，为培养学生良好的数学素养，打下较扎实的分析学理论基 础，提高学生的数学素养，并掌握较系统的分析类基础知识，为学习后续研究生 课程服务。

二、内容范围

本科目考核的内容范围有如下 7 个方面：

1. 极限理论——初等函数、极限与连续、极限续论。

考试要求: 熟练掌握函数的复合运算、求数列极限、函数极限的常用方法， 掌握并能运用和语言证明极限问题，掌握连续函数的性质，并利用性质证明相关 命题。

2. 一元函数微分学—导数与微分、微分中值定理及其应用。

考试要求: 掌握微分中值定理、泰勒中值定理以及相关证明与应用，掌握常 见函数的泰勒展开式，能熟练求函数的导数、用罗必达法则求不定式的极限。

3.一元函数积分学—不定积分、定积分、定积分的应用、反常积分。

考试要求: 熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法、分部积分法，掌握定 积分的几何应用，并在应用中逐步掌握"微元法"，能应用函数可积的充要条件证 明函数的可积性。

4.级数理论—数项级数、函数列与函数项级数、Fourier 级数。

考试要求: 掌握正项级数与任意项级数的敛散性判别法;能判断数项级数的 条件收敛与绝对收敛;能判断函数列与函数项级数的一致收敛性;会求幂级数的 收敛域，能把一些函数展开成幂级数和傅里叶级数。

5. 多元函数微分学—多元函数极限与连续、偏导数和全微分、多元函数的 极值。

考试要求: 能准确判断二元函数极限的存在性、二元函数的连续性和可微性; 能求复合函数高阶偏导数和隐函数组的偏导数;会应用多元函数的极值求解实际 问题;会求曲线的切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程。

6.含参量积分—含参量正常积分、含参量反常积分、Euler 积分。

考试要求: 掌握含参量正常积分和反常积分的连续性、可微性和可积性;掌 握含参量反常积分一致收敛性判别法，并能熟练应用欧拉公式。

7. 多元函数积分学—曲线积分与曲面积分、重积分、各种积分间的联系。

考试要求: 掌握两类曲线积分、两类曲面积分、二重、三重积分的概念及其 计算;掌握 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式及其应用;会用重积分求图 形的面积、体积及物体的质量与重心等相关问题。

三、题型结构

试卷满分共 150 分，主要题型结构如下：

1.计算题(约占 70%)

题目样例：计算下列积分：

∫S x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ，其中 S 是锥面 x2 + y2 = z2 与平面z = h 所围空间区域(0 ≤ z ≤ h )的表面，方向取外侧.

2.证明题(约占 30%)

题目样例：证明函数 f(x) = 3+ 5 在[1, +∞) 上一致连续.

四、相关书目

[1] 华东师范大学数学科学学院编. 数学分析[M] 上册(第五版). 高等教 育出版社，2019.

[2] 华东师范大学数学科学学院编. 数学分析[M] 下册(第五版). 高等教 育出版社，2019.

五、其他说明

本科目考试形式为闭卷，时间 180 分钟，不需要计算器。