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数学高数：你不知道的出题规律及常考题型

时间:2020-10-09 作者:考研资源网所属栏目：考研数学

摘要：数一、数二、数三，高数都是考研数学的大头，根据往年的数学真题分析，发现高数命题还是有一定规律所在的。那么大家就来看看有什么样的规律，又有哪些常考的题型吧~

　　一、高数命题规律

　　1)侧重对数一、数三独有知识的考查。考研数学一有什么独有知识?大的模块有空间解析几何、多元积分(三重积分、曲线积分和曲面积分);数三独有的知识包括经济应用和级数(相对数二而言)。比如2014年真题中数一考了切平面方程，斯托克斯公式还有曲面积分;数三考了边际收益和幂级数求和展开。

　　2)考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。说白了就是应用题。比方上面提到的考研数三的经济应用，数二考到了形心质心。前者是导数的经济应用，后者是定积分的几何应用。

　　3)考点覆盖较全。这提示考生不要有侥幸心理，不要忽略次要考点，要做全面复习。这与把握重点是不矛盾的。这里可以把考研政治中的马克思主义哲学基本原理用过来：全面复习和把握重点的辩证统一。

　　二、常考题型

　　►向量代数与空间解析几何

　　1、理解向量的概念及其表示。

　　2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件;掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题。

　　4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

　　5、了解空间曲线的参数方程和一般方程;了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

　　►微分方程

　　1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;

　　2.求解可降阶方程;

　　3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;

　　4.根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;

　　►无穷级数

　　1.判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

　　2.求幂级数的收敛半径，收敛域;

　　3.求幂级数的和函数或求数项级数的和;

　　4.将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);

　　5.将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);

　　►多元函数的积分学

　　1.二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;

　　2.第一型曲线积分、曲面积分计算;

　　3.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;

　　4.第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;

　　5.梯度、散度、旋度的综合计算;

　　6.重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

　　►多元函数的微分学

　　1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;

　　2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;

　　3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;

　　4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;

　　5.多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;

　　6.求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。

　　►一元函数积分学

　　1.计算不定积分、定积分及广义积分;

　　2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;

　　3.有关积分中值定理和积分性质的证明题;

　　定积分应用题：

　　计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;

　　综合性试题。

　　向量代数和空间解析几何

　　计算题：

　　1.求向量的数量积，向量积及混合积;

　　2.求直线方程，平面方程;

　　3.判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;

　　4.建立旋转面的方程;

　　与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。

　　►一元函数微分学

　　1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;

　　2.利用洛比达法则求不定式极限;

　　3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;

　　4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数;

　　5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;

　　6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

　　►函数、极限与链接

　　1.求分段函数的复合函数;

　　2.求极限或已知极限确定原式中的常数;

　　3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;

　　4.无穷小阶的比较;

　　5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

　　这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，复习的关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。

　　三、如何判断自己掌握了知识点？

　　大家可任选一道考研数学真题，该题可能有一定难度和综合性，但其分解之后的考点都在考纲规定的考点范围内，说明考研数学重基础。

　　那么打牢基础是否能轻松应对考试呢?不够，还需要在此基础上总结方法。比如中值定理相关的证明题是令不少考生头痛的一类题。各位考研er把基础内容(闭区间上连续函数的性质、费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理内容能完整表述，定理本身会证)，直接做真题，很可能没什么思路，不知道朝哪个方向想。

　　知识从理解到应用有一个过程：理解了不代表会用，应用还有个方向问题——在哪方面应用呢?这时真题的价值就显现出来了：真题是很好的素材，通过对历年真题的分析总结，可以对真题的具体应用有直观认识，对真题的命题思路有全面认识。

　　换句话说，通过对考研数学真题“归纳题型，总结方法”可以让大家知道哪道题目往哪个方向想。以中值定理相关的证明这类题型为例，如果总结到位了，就能达到如下效果：拿到一道此类型的题目，一般可以从条件出发进行思考，看要证的式子是含一个中值还是两个。若是一个，再看含不含导数，若含导数，优先考虑罗尔定理，否则考虑闭区间上连续函数的性质(主要是两个定理——介值定理和零点存在定理);若待证的式子含两个中值，则考虑拉格朗日定理和柯西定理。

　　经过这篇干货，大家对高数的把握是不是大大加深了呢？找到合适的方法与技巧，数学对你来说没什么困难！

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